Ответы к занимательным задачам

1. Так как среди любых 23 гри­бов хотя бы один – рыжик, то груз­дей не боль­ше 22. Так как среди любых 24 гри­бов хотя бы один – груздь, то ры­жи­ков не боль­ше 23. А так как всего в кор­зи­не 45 гри­бов, то груз­дей ровно 22, а ры­жи­ков ровно 23.

Ответ: 23

2. По­сколь­ку в пер­вых 7 подъ­ез­дах не мень­ше 462 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 462 : 7 =  66 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из 7 этаже в подъ­ез­де не мень­ше 9 квар­тир. Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах всего 9 · 7 · 7 = 441 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 462 ока­жет­ся в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 · 7 · 7 = 490 квар­тир, а в пер­вых шести — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже. Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квар­тир, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 · 7 · 6 = 462 квар­ти­ры, то есть 462 квар­ти­ра в ше­стом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.

3. Ответ: 5.Сумма длин периметров всех треугольников и всех четырехугольников равна удвоенной сумме длин трех жирных отрезков плюс периметр большого треугольника. Поэтому сумма длин жирных отрезков равна половине разности суммы периметров всех треугольников и четырехугольников и периметра большого треугольника,

т.е. (25+20-19)/2=13.

Ответ:13.

4. К концу каж­до­го часа объём воды в баке уве­ли­чи­ва­ет­ся на 8 − 3 = 5 лит­ров. Через 6 часов, то есть в 18 часов, в баке будет 30 лит­ров воды. В 18 часов в бак до­льют 8 лит­ров воды и объём воды в баке ста­нет рав­ным 38 лит­ров.

 Ответ: 18.

5.1) если x−1 , то | x−1|= x−1 и | 2x−x+1|=4, x=3 или x= −5.

Из чисел -5 и 3 условию(*) удовл. число 3.

2) если x−1 ,то | x−1|= − x+1 и | 2x+x-1|=4, x=  или x= −1.

Из чисел −1 и   условию(**) удовл. число −1.

Ответ: −1и 3.

6. Если число де­лит­ся на 27, тогда оно де­лит­ся на 3 и на 9. За­ме­тим, что, если число де­лит­ся на 9,то оно де­лит­ся и на 3. Число де­лит­ся на 9, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 9.  Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Значит при вычеркивании цифр мы должны добиться, чтобы сумма оставшихся равнялась 18 или 9,т.е. вычеркнуть надо цифры в сумме дающие 3 или 12.Получить сумму 18 вычеркиванием трех цифр не удается, т.к. наименьшая вычеркнутая сумма цифр: 1+2+3=6.Значит вы­черк­иваем три цифры ,дающие в сумме 12:(6,5,1),(6,4,2),(5,4,3)

Если вычеркнуть 6,5,1, то полученное число 234 делится на 9, но не делится на 27.

Если вычеркнуть 5,4,3, то полученное число 126 делится на 9, но не делится на 27.

Если вычеркнуть 6,4,2, то полученное число 234 делится на 9 и делится на 27.

 Ответ: 135.